Tutto il capitolo sul calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni

Benvenuti al paragrafo riassuntivo sul calcolo combinatorio! Parleremo della differenza tra disposizioni, permutazioni e combinazioni. Il calcolo combinatorio costituisce uno dei principi fondamentali per il calcolo delle probabilità, infatti il calcolo combinatorio permette di contare tutti i modi in cui si può presentare un certo evento, la cosa importantissima è capire la distinzione tra disposizioni, combinazioni e permutazioni per poterli associare correttamente all’evento che ci viene proposto. 

Le Disposizioni

Le disposizioni le usiamo quando stiamo ordinando degli elementi di un insieme, ovvero stiamo mettendo in fila secondo un ordine di posizione, solo k elementi presi tra n.

Disposizioni Semplici: 

Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k, con k≤n, contano tutti i modi in cui è possibile mettere in ordine k elementi presi tra gli n disponibili senza che gli elementi si possano ripetere. Ad esempio le usiamo per contare il numero possibile di password che si possono formare con 5 lettere distinte dell’alfabeto, oppure pin del telefono formato da cifre numeriche distinte. 

Quindi: 

  • Conta l’ordine di un sottoinsieme di elementi 
  • Non ci sono ripetizioni 

Il numero di modi è dato dalla formula: D_{n,k}=n\cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdot...\cdot (n-k+1)

Disposizioni con ripetizione:

Le disposizioni con ripetizione di n oggetti distinti di classe k, sono tutti i gruppi di k elementi anche ripetuti, scelti tra gli n che differiscono almeno per un elemento o per il loro ordine. 

Ad esempio le usiamo per contare il numero possibile di targhe di un’auto (tutte diverse) dove una lettera o una cifra si può ripetere. Quindi:

  • Conta l’ordine di un sottoinsieme di elementi 
  • Ci sono ripetizioni

Il numero di modi è dato dalla formula: D_{n,k}'= n^k.

Le Permutazioni

Le Permutazioni le usiamo quando stiamo ordinando tutti gli elementi di un insieme, ovvero stiamo mettendo in fila secondo un ordine di posizione, tutti gli n elementi di un insieme. 

Permutazioni semplici

Le permutazioni remplici permettono di contare in quanti modi si possono ordinare oppure mettere in fila, n oggetti distinti. Sono utili per contare ad esempio tutti i modi in cui si può anagrammare una parola costituita da tutte lettere distinte. Quindi:

  • Conta l’ordine di tutti gli elementi 
  • Non ci sono ripetizioni 

Il numero dei modi è dato da: P_{n,k}=n!

 

Permutazioni con ripetizione

Le permutazioni con ripetizione permettono di contare in quanti modi si possono ordinare oppure mettere in fila, n oggetti di cui r elementi si ripetono un certo numero di volte. Sono utili per contare ad esempio tutti i modi in cui si può anagrammare una parola dove qualche lettera si ripete.

  • Conta l’ordine di tutti gli elementi
  • Ci sono ripetizioni 

Il numero dei modi è dato da: P_{n,r-1,...,r_n}'=\frac{n!}{r_1! \cdot r_2! \cdot ...\cdot r_n!}

Le Combinazioni 

Le combinazioni le usiamo quando vogliamo contare tutti i modi di formare un sottoinsieme di k elementi presi tra gli n disponibili, fate attenzione perchè nelle combinazioni NON importa l’ordine! Ad esempio pensando al gioco del superenalotto, non ha importanza l’ordine di estrazione dei numeri per vincere, l’importante è aver giocato i numeri estratti.

Combinazioni Semplici:

Le Combinazioni semplici contano il numero di possibili sottoinsiemi di k elementi presi insieme, tra gli n possibili. È utile quando stiamo considerando estrazioni senza rimpiazzo. Un esempio appunto costituisce quello di contare il numero possibile di sestine che si possono formare con i 90 numeri disponibili nel gioco del superenalotto, o le possibili cinquine nel gioco della tombola o le possibili carte che si possono ricevere in una mano di Poker. Quindi:

  • Non conta l’ordine
  • Non ci sono ripetizioni 

Nelle combinazioni semplici, il numero possibile di sottoinsiemi di k elementi presi tra n possibili si calcola attraverso il coefficiente binomiale: n \choose k= \frac{n!}{k! (n-k)!}

Combinazioni con Ripetizione:

Le Combinazioni con ripetizione si utilizzano per contare tutti i modi in cui possiamo distribuire n oggetti in k gruppi, per questo k può anche essere maggiore di n e un elemento si può anche ripetere più volte. È utile quando consideriamo estrazioni con rimpiazzo. Ad esempio in gelateria abbiamo a disposizione una serie di gusti ma ne possiamo scegliere solo tre, ma eventualmente possiamo ripetere tre volte lo stesso gusto. 

Quindi:

  • Non conta l’ordine
  • Ci possono essere ripetizioni 

 

Buono studio!

 

Calcolo Combinatorio

1
Disposizioni semplici e con ripetizione
24
2
Permutazioni semplici e con ripetizione
17
3
Combinazioni semplici
7 min
4
Combinazioni con ripetizione
6 min
5
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6
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7
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