Continuità di una funzione in un punto. Cosa sono e come classificare le discontinuità di una funzione

Benvenuti in questo paragrafo completamente dedicato al concetto di continuità in un punto per Funzioni reali di Variabile reale che può essere visto come uno dei concetti cardine e allo stesso tempo controverso alla base dell’Analisi matematica 1, ma anche del programma di matematica del quinto anno delle scuole superiori.

Si tratta di una lezione che fa parte del corso di Analisi Matematica 1 dedicato a tutti gli studenti che devono affrontare questa materia al primo anno delle principali facoltà dell’ambito STEM. All’interno di questo percorso avremo modo di introdurre l’Analisi Matematica, senza tralasciarne gli aspetti più profondi nel tentativo di fornire gli strumenti utili a risolvere gli esercizi con diversi livelli di difficoltà.

Dopo aver ripassato insieme alcuni degli strumenti di algebra necessari a raggiungere la piena consapevolezza della materia, in questo corso vengono proposti contenuti che sono stati integrati nel libro di testo, Lezioni di Analisi Matematica, del prof. Daniele Ritelli (UNIBO) edito dalla Società Editrice Esculapio. Sono stati prodotti, con grande cura e dovizia di particolari, più di settanta video a supporto del manuale. In questo modo si è cercato di dare risposta alla continua, incessante e, sopratutto, insaziabile, richiesta di esempi operativi per lo svolgimento di esercizi da parte degli studenti; inoltre le tecniche risolutive sono illustrate con un livello di dettaglio che, per ragioni di tempo, raramente viene fornito a livello universitario, dove era tradizione scaricare sullo studente il tempo e le sofferenze necessarie all’apprendimento dell’arte di risolvere problemi.

Vediamo insieme di cosa parleremo in questo paragrafo e…buono studio 😉

Funzioni continue in un punto

Cosa sono i punti di continuità di una funzione

In generale una funzione f(x):I\subset\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} si dice continua in un punto x_{0}\in I se \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0}) .

Attenzione: il concetto di continuità così espresso ha natura locale, poichè si riferisce ad uno specifico x_{0}\in I. Se una funzione è continua \forall x\in I, allora essa sarà globalmente continua in I.

In alcuni casi, per le funzioni composte, è possibile trarre conclusioni sulla continuità della funzione a partire dall’analisi delle funzioni componenti. In particolare, prese f(x) e g(x) continue in x_{0}\in I, allora anche:

• f(x)+g(x) è continua in x_{0} 
• f(x)\cdot g(x) è continua in x_{0}
• \frac{f(x)}{g(x)} è continua in x_{0} se g(x)\neq 0

Discontinuità di una funzione

Una funzione f(x):I\rightarrow \mathbb{R} si dice discontinua in x_{0}  se:

Esistono diversi casi per cui può verificarsi tale condizine, di conseguenza potrebbe essere utile una loro classificazione. Diremo, quindi, che x_{0} è una discontinuità di:

• I specie o a salto se esitono finiti ma diversi \lim_{x\rightarrow x_{o^{+}}}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_{o^{-}}}f(x)
• II specie o essenziale se almeno una dei due limiti tra destro e sinistro in x_{0} o non esiste o non è finito. Per cui potrebbero verificarsi diversi casi, tra cui: \lim_{x\rightarrow x_{o^{+ (e/o) -}}}f(x) non esiste oppure \lim_{x\rightarrow x_{o^{+ (e/o) -}}}f(x)=\pm \infty  
• III specie o eliminabile se esistono finiti e uguali i limiti \lim_{x\rightarrow x_{o^{+}}}f(x) = \lim_{x\rightarrow x_{o^{-}}}f(x)