Tutto il capitolo sui numeri complessi: definizione di numero complesso, piano di Gauss, forma cartesiana, forma trigonometrica, forma esponenziale, potenza e radici n-esime

Benvenuti al paragrafo riassuntivo sui numeri complessi \mathbb{C}! In queste lezioni vedremo cosa è un numero complesso quindi la definizione di numero complesso, la rappresentazione di un numero complesso sul piano di Gauss, la scrittura in forma cartesiana , trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso.

I numeri complessi \mathbb{C} sono un insieme che contiene l’insieme dei numeri reali \mathbb{R}, vale a dire è un insieme più grande dei numeri reali, \mathbb{R} \subset \mathbb{C} . Perché è necessario ampliare l’insieme dei numeri reali? Come nascono i numeri complessi? Come nasce questa esigenza? Bisogna ricordare che nell’insieme di numeri reali non è possibile risolvere tutte le equazioni di grado pari, ci sono equazioni il cui Delta è negativo e quindi non ammette soluzioni reali. Ad esempio l’equazione x^2+1=0 è impossibile, infatti non esiste alcun numero reale che elevato la seconda sia negativo, il che significa che nei numeri reali non possiamo eseguire la radice quadrata di un numero negativo x^2=-1. Ecco che quindi introducendo l’unità immaginaria i si costruisce l’insieme dei numeri complessi e nel dettaglio in queste lezioni vedremo:

I numeri complessi e la loro rappresentazione sul piano di Gauss

Un numero complesso z si scrive come z=a+ib, quindi come la somma di parte reale a, e da una parte immaginaria ib dovei è l’unità immaginare e b un numero reale. Per come è costruito un numero complesso, che è definito da una coppia di numeri reali, non è possibile posizionare i numeri complessi in ordine sull’asse x come facciamo per i numeri reali, ma abbiamo bisogno di un piano detto piano di Gauss dove l’asse delle ascisse indica la parte reale di z, l’asse delle ordinate indica la parte immaginaria di z. Un numero complesso è quindi un punto di coordinate (a,b) sul piano di Gauss, e si dice raggio o modulo di z il segmento congiungente l’origine del piano con z, e si indica con \theta l’angolo che forma il raggio con l’asse reale, dunque |z|=\rho=\sqrt{a^2+b^2} .

Scrittura di un numero complesso in forma cartesiana, trigonometrica ed esponenziale

Un numero complesso si può scrivere in tre diverse forme che sono: la forma cartesiana, la forma trigonometrica e la forma esponenziale. Vedremo che è possibile passare da una forma all’altra, ovvero possiamo cambiare la scrittura di un numero complesso che chiaramente rimarrà lo stesso. Questo è vantaggioso a seconda delle operazioni che andremo a svolgere con i numeri complessi, infatti in alcuni casi sarà più conveniente rimanere nella forma cartesiana, in altri casi sarà più comodo usare quella trigonometrica o anche quella esponenziale.

Forma cartesiana: z=a+ib

Forma trigonometrica: z=\rho(\cos \theta + i \sin \theta)

Forma esponenziale: z=\rho e^{i \theta}

Potenza di un numero complesso: formula di De Moivre

Per eseguire la potenza di un numero complesso vedremo che sarà un procedimento molto semplice grazie alla formula di De Moivre che si dimostra utilizzando le formule goniometriche, ma prima di tutto dovremmo trasformare il numero complesso, qualora già non lo fosse, in forma trigonometrica. 

Quindi dato z \in \mathbb{C} e n \in \mathbb{N}, sia z=a+ib ul numero complesso di cui vogliamo calcolarne la potenza n-eseima, questo viene scritto in forma trigonometrica z=\rho(\cos \theta + i \sin \theta) ed infine dalla formula di De Moivre si ottiene che

z^n=\rho^n(\cos{n \theta}+i \sin {n \theta})

Radici n-esime di un numero complesso

Per eseguire il calcolo delle radici n-esime di un numero complesso, bisogna subito tenere presente che nei numeri complessi esistono esattamente n radici distinte di un numero complesso, tutte date dalla formula:

\sqrt[n]z=\sqrt[n]\rho(\cos{\frac{\theta+2k\pi}{n}}+i \sin{\frac{\theta+2k\pi}{n}}), con k=0,1,2,…,n-1.

Ogni radice n-esima costituisce un vertice di un poligono regolare sul piano di Gauss.

Buono studio!