Radicali: condizione di esistenza, semplificazione, prodotto e divisione, regola del trasporto, potenza e radice di radice, razionalizzazione, somma e differenza, radicali doppi

Benvenuti in questo paragrafo riassuntivo dedicato ai Radicali e alle Operazioni con i Radicali! Prima di cominciare a vedere nel dettaglio tutte le regole per eseguire le operazioni con i numeri radicali è fondamentale osservare che i radicali sono numeri Irrazionali, il cui insieme è contenuto nell’insieme dei numeri Reali e non appartiene ai numeri Razionali. In altre parole i radicali non sono numeri decimali, ovvero non sono mai esprimibili come una frazione tra due numeri interi, infatti i numeri irrazionali sono decimali illimitati non periodici. Quindi per eseguire le operazioni con i radicali, bisogna utilizzare delle regole che vedremo nel dettaglio, tutte riunite in un unico paragrafo perchè un molto richieste nei test di ammissione all’università ed anche test invalsi. Cominciamo osservando che i radicali nell’insieme dei numeri Reali non esistono sempre, bisogna sempre eseguire il Dominio o Condizione di esistenza di un radicale.

Benvenuti in questo paragrafo dedicato alla condizione di esistenza o dominio dei radicali, vedremo cosa è la condizione di esistenza dei radicali e come si determina! I radicali sono numeri Irrazionali, il cui insieme è contenuto nell’insieme dei numeri Reali e non appartiene ai numeri Razionali. In altre parole i radicali non sono numeri decimali, ovvero non sono mai esprimibili come una frazione tra due numeri interi, infatti i numeri irrazionali sono decimali illimitati non periodici. Quindi per eseguire le operazioni con i radicali, bisogna utilizzare delle regole che vedremo nel dettaglio in questo capitolo, ma prima di tutto bisogna comprendere che i radicali nell’insieme dei numeri Reali non esistono sempre, bisogna sempre eseguire il Dominio o Condizione di esistenza di un radicale.

Condizione di esistenza o dominio dei radicali 

Un radicale \sqrt[n] a=b di indice n ed argomento a è quel numero b che se elevato all’indice n della radice restituisce l’argomento a, cioè b^n=a. Ora la domanda che dobbiamo porci è la seguente: si può sempre calcolare \sqrt[n] a ? Ovvero l’operazione di estrazione della radice si può sempre eseguire nei numeri Reali? La risposta è No! Per capirlo ragioniamo su un semplice esempio: calcoliamo \sqrt{4}, il risultato è 2, infatti 2^2=4 ! Ma possiamo calcolare\sqrt{-4} ? La risposta in questo caso è no! Questo perchè nessun numero elevato alla seconda restituisce un numero negativo, quindi non troveremo mai il numero b tale che b^2=-4 ! Questo discorso chiaramente si può estendere a qualsiasi indice n pari.  Facciamo un’ulteriore osservazione sul calcolo di \sqrt{4} : il risultato è solo 2 e non -2, anche se(-2)^2=4, questo perchè la radice quadrata di argomento positivo, è numero positivo.

In generale quindi dovrà sempre valere la regola della concordanza di segno, ovvero \sqrt[n]a=|b| con n pari e a≥0 . 

Cosa succede invece se la radice ha indice n dispari? Anche in questo caso affrontiamo l’argomento pensando ad un esempio numerico molto semplice: calcoliamo \sqrt[3]8 , questa è pari a 2, ma si può calcolare anche\sqrt[3]{-8} infatti\sqrt[3]{-8}=-2 poichè \sqrt[3](-2^3)=-8. Quindi in generale se l’indice è dispari siamo in grado di calcolare la radice sia per argomenti positivi che negativi.

In generale quindi, per calcolare la condizione di esistenza di \sqrt[n]a dobbiamo distinguere due casi che dipendono dall’indice n della radice:

  • Se la radice ha indice n pari allora \sqrt[n]a esiste se e solo se l’argomento a è positivo, quindi per calcolare il Dominio dovremmo imporre a(x)≥0 e determinare l’intervallo di x che soddisfa la disequazione. 
  • Se la radice ha indice n dispari allora \sqrt[n]a esisterà sempre, non dovremmo quindi imporre nessuna condizione sull’argomento, questo potrà essere sia positivo che negativo. 

Semplificazione di radicali 

Dato un radicale \sqrt[n]a^p, è sempre possibile scriverlo in un radicale equivalente dividendo n e p per il loro Massimo Comune Divisore d. Quindi per poter applicare questo importante teorema, la prima cosa da fare è eseguire la scomposizione in fattori primi dell’argomento della radice e poi semplificare la potenza con l’indice della radice e poi calcolare MDC[n,p]=d, infine otteniamo che \sqrt[n]a^p=\sqrt[n/d]{a^{p/d}}

Le cose a cui bisogna fare molta attenzione in questo passaggio sono:

  • rispettare la condizione di esistenza o dominio del radicale di partenza cioè a≥0
  • usare la funzione modulo quando necessario per rispettare sempre la concordanza di segno della radice di partenza ovvero:

se n è dispari: \sqrt[n]a^p=\sqrt[n/d]{a^{p/d}}

se n è pari, per la C.E. a≥0 e quindi per la conocordanza di segno si ha: \sqrt[n]a^p=\sqrt[n/d]{|a^{p/d}|}

Prodotto e Divisione tra radicali

Due radicali che abbiano lo stesso indice di possono moltiplicare tra loro ed il risultato del prodotto sarà un’unica radice di medesimo indice ed argomento i prodotti dei rispettivi argomenti. 

\sqrt[n] a \cdot \sqrt[n] b= \sqrt[n] {a\cdot b}

 

Due radicali che abbiano lo stesso indice possono essere divisi tra loro, ed il risultato sarà un’unica radice di medesimo indice ed argomento il quoziente dei rispettivi argomenti.

\sqrt[n] a : \sqrt[n] b= \sqrt[n] {\frac{a}{b}}

Osservazione importante:  

Nel caso in cui le radici non abbiano lo stesso indice, allora dobbiamo applicare la regola del minimo comune indice: eseguiamo il minimo comune multiplo tra gli indici delle due radici, poi riscriviamo entrambe le radici con il nuovo indice trovato ed eleviamo tutto l’argomento di ogni singola radice alla potenza ottenuta dividendo il minimo comune indice con l’indice iniziale. A questo punto le radici avranno lo stesso indice e quindi potremmo moltiplicarle o dividerle. 

Quindi se dobbiamo calcolare \sqrt[n] a \cdot \sqrt[m] b, calcoliamo subito il minimo comune indice, ovvero sia mcm(n;m)=p, dunque 

\sqrt[n] a \cdot \sqrt[m] b= \sqrt[p]{a^{p/n}\cdot b^{p/m}} \sqrt[n] a : \sqrt[m] b= \sqrt[p]{\frac{a^{p/n}}{b^{p/m}}}

Trasporto di un fattore dentro il segno di radice

Il trasporto fuori è un’operazione utile ogni volta che abbiamo uno o più fattori del radicando elevati ad una potenza maggiore o uguale all’indice della radice. In questo caso dividendo la potenza del singolo fattore per l’indice possiamo riscrivere il fattore elevato al quoziente ottenuto all’esterno della radice, all’interno riscriviamo il fattore elevato al resto della divisione. 

\sqrt[n] {a^m} con a\geq 0, m\geq n si riscrive come:

a^q\sqrt[n] {a^r} dove abbiamo eseguito la divisione euclidea m:n e quindi m=n \cdot q+r

Trasporto di un fattore fuori il segno di radice

Il trasporto dentro è un’operazione che ci permette di portare un coefficiente che moltiplica la radice, all’interno del segno di radice. Questo passaggio però è possibile solo se il coefficiente è positivo, in tal caso basterà moltiplicare la potenza del coefficiente per l’indice della radice e riscriverlo all’interno della radice. 

a \sqrt[n] b con a>0, portiamo il coefficiente a all’interno del segno di radice:  \sqrt[n]{ a^n b}

Potenza di radicali

Se un radicale è elevato ad una potenza, per eseguire il calcolo basterà riscrivere il radicale elevando l’argomento alla potenza a cui era elevato il radicale ed eseguire poi i calcoli per scriverlo in forma normale. 

(\sqrt[n] a )^m=\sqrt[n]{a^m }

Radice di un radicale 

Se una radice è a sua volta sotto il segno di radice, per eseguire la radice di radice basterà riscrivere la radice che abbia indice pari al prodotto delle due o più radici, con lo stesso argomento. 

\sqrt[n]{\sqrt[m] a}=\sqrt[n\cdot m] a

Nel caso in cui in una radice compare un coefficiente all’esterno positivo, prima di procedere bisogna eseguire il trasporto dentro e poi eseguire il calcolo. 

\sqrt[n]{a \sqrt[m] b}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a^m b}}

 

Somma e Differenza tra radicali 

La Somma o la Differenza tra radicali è possibile sono se questi sono simili. Due radicali si dicono simili se ridotti in forma normale hanno la stessa parte radicale e coefficienti diversi. 

In questo caso l’operazione di somma o differenza è molto semplice, infatti basterà raccogliere a fatto comune la parte radicale ed eseguire i calcoli tra i rispettivi coefficienti. 

Nel caso i cui i radiali non siano simili, non si esegue nessun calcolo. 

Razionalizzazione 

La razionalizzazione è un’operazione che consente di riscrivere una frazione in cui compare una radice al denominatore. Attraverso opportune tecniche si ottiene una nuova frazione equivalente ma dove al denominatore non compare più il radicale. Le tecniche di razionalizzazione consistono nel moltiplicare e dividere la frazione iniziale per un’altra frazione scelta opportunamente, la scelta dipende dai casi in cui compare il denominatore della fazione iniziale:

  1. Se al denominatore compare radice quadrata, moltiplichiamo e dividiamo per la medesima radice
  2. Se al denominatore compare una radice di indice n e l’argomento ha potenza m, allora moltiplichiamo e dividiamo per la stessa radice ma con argomento elevato alla (n-m)
  3. Se al denominatore compare la somma o differenza tra radici quadrate, allora moltiplichiamo e dividiamo per la stessa somma o differenza cambiano il segno tra le radici. In questo modo al denominatore potremmo utilizzare la differenza di quadrati. 
  4. Se al denominatore compare la Somma o la differenza tra radici cubiche, dobbiamo ricondurci alla somma o differenza di cubi per non avere più il radici al denominatore.

Buono studio!

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1
Dominio o Condizione di Esistenza
5 min
2
Semplificazione di un radicale
2 min
3
Proprietà invariantiva
2 min
4
Prodotto e divisione
6 min
5
Trasporto di un fattore dentro e fuori il segno di radice
6 min
6
Potenza e Radice di un radicale
3 min
7
Razionalizzazione
18 min
8
Somma e Differenza tra radicali
2 min
9
Radicali doppi
4 min
10
PDF radicali
11
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