Cosa sono e come calcolare gli asintoti di una funzione

Benvenuti in questo paragrafo completamente dedicato a capire cosa sono e come si calcolano gli Asintoti di Funzioni reali di Variabile reale che sono alla base dell’Analisi matematica 1, ma anche del programma di matematica del quinto anno delle scuole superiori.

Si tratta di una lezione che fa parte del corso di Analisi Matematica 1 dedicato a tutti gli studenti che devono affrontare questa materia al primo anno delle principali facoltà dell’ambito STEM. All’interno di questo percorso avremo modo di introdurre l’Analisi Matematica, senza tralasciarne gli aspetti più profondi nel tentativo di fornire gli strumenti utili a risolvere gli esercizi con diversi livelli di difficoltà.

Dopo aver ripassato insieme alcuni degli strumenti di algebra necessari a raggiungere la piena consapevolezza della materia, in questo corso vengono proposti contenuti che sono stati integrati nel libro di testo, Lezioni di Analisi Matematica, del prof. Daniele Ritelli (UNIBO) edito dalla Società Editrice Esculapio. Sono stati prodotti, con grande cura e dovizia di particolari, più di settanta video a supporto del manuale. In questo modo si è cercato di dare risposta alla continua, incessante e, sopratutto, insaziabile, richiesta di esempi operativi per lo svolgimento di esercizi da parte degli studenti; inoltre le tecniche risolutive sono illustrate con un livello di dettaglio che, per ragioni di tempo, raramente viene fornito a livello universitario, dove era tradizione scaricare sullo studente il tempo e le sofferenze necessarie all’apprendimento dell’arte di risolvere problemi.

Vediamo insieme di cosa parleremo in questo paragrafo e…buono studio 😉

Asintoti di funzioni

Cosa sono gli asintoti di una funzione

In generale per asintoto si intende una retta, verticale orizzontale oppure obliqua, che rappresenta valori a cui la funzione tende al limite. In particolare, quando una funzione è dotata di asintoti si osserva che il suo grafico tende ad avvicinarsi in maniera indefinita a tali rette (al finito nel caso di asintoti verticali, all’infinito nel caso di asintoti obliqui o orizzontali).

Definizione e classificazione degli asintoti

Come appena introdotto, gli asintoti di una funzione sono delle rette, quindi sono descritti da equazioni del tipo  x=x_{0} nel caso di asintoti (quindi rette) verticali, y=y_{0} nel caso di asintoti orizzontali, y=mx+q nel caso di asintoti obliqui. Al fine di valutare i parametri di tali rette occorre valutare l’andamento al limite della funzione considerata. In particolare, per l’asintoto verticale bisogna valutare l’andamento della funzione in corrispondenza dei punti di frontiera del dominio (limiti al finito), mentre per gli asintoti orizzontali occorre valutare l’andamento della funzione all’infinito. Di conseguenza, possiamo fornire le seguenti definizioni:

  • Si dice che f(x) ammette asintoto verticale di equazione x=x_{0} se\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\pm \infty
  • Si dice che f(x) ammette asintoto orizzontale di equazione y=y_{0} se\lim_{x\rightarrow \pm \infty}f(x)=y_{0}
  • Si dice che f(x) ammette asintoto obliquo di equazione y=mx+q se\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=m e \lim_{x\rightarrow \pm \infty}(f(x) - mx)=q

N.B. Occorre tener presente che l’esistenza dell’asintoto orizzontale implica la NON esistenza dell’asintoto obliquo. In particolare, la NON esistenza dell’asintoto orizzontale è una condizione necessaria ma non sufficiente all’esistenza dell’asintoto obliquo poichè affinchè esista l’asintoto obliquo occorre che non esista l’asintoto orizzontale, ma se una funzione non ammette asintoto orizzontale non è detto che ammetta l’asintoto obliquo.

 

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asintoti di una funzione
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livello: universitÃ