Cos'è la teoria dei gruppi? Spiegazione e applicazioni alla meccanica quantistica. Le rappresentazioni, il gruppo di Poincaré, le particelle elementari

La teoria dei gruppi è la branca della matematica che si occupa dello studio dei gruppi, cioè di strutture algebriche caratterizzate da un’operazione binaria associativa, dotata di elemento neutro e per la quale ogni elemento della struttura possiede elemento inverso; un semplice esempio di gruppo è dato dall’insieme dei numeri interi, con l’operazione dell’addizione.

Gruppi e rotazioni

Un tipico esempio di gruppo è fornito dalle rotazioni di uno spazio vettoriale euclideo S, cioè dall’insieme costituito da tutte le rotazioni di S (trasformazioni che lasciano fissa l’origine di S, mantengono le distanze tra i punti di S e si possono ottenere con movimenti continui). Muniamo l’insieme delle rotazioni di S con l’operazione di composizione delle rotazioni; si osserva che componendo due di queste rotazioni si ottiene un’altra rotazione; inoltre la rotazione identità, cioè la trasformazione che lascia fisso ogni punto di S, svolge il ruolo di elemento neutro per la composizione delle rotazioni. Per ogni rotazione esiste la sua ‘inversa’ che per composizione ripristina la situazione iniziale.

I gruppi in fisica

In fisica i gruppi sono importanti in quanto riescono a descrivere le simmetrie alle quali le leggi della fisica sembrano obbedire. I fisici sono profondamente interessati alle rappresentazioni dei gruppi, specialmente alle rappresentazioni dei gruppi di Lie, in quanto queste rappresentazioni spesso segnano la strada delle teorie fisiche “possibili”. Alcuni esempi nella fisica sono il modello standard, le varie teorie di gauge, lo spazio di Calabi-Yau, la simmetria dinamica. Un’altra applicazione riguarda la teoria degli insiemi musicale.

Noi, all’interno di questo paragrafo, introdurremo quello nozioni di teoria dei gruppi che sono direttamente legate a una successiva applicazione della teoria all’ambito fisico della teoria quantistica dei campi.