Disequazioni goniometriche: disequazioni goniometriche elementari, disequazioni goniometriche riconducibili ad elementari, disequazioni goniometriche lineari, disequazioni di secondo grado omogenee e disequazioni goniometriche fratte!

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Ciao ragazzi e benvenuti al paragrafo sulle disequazioni goniometriche!

Prima di riepilogare in questa descrizione i vari argomenti che tratteremo nella lezione, ti mostro sinteticamente cosa contiene questo PACCHETTO

1) 4 LEZIONI DI TEORIA sull’argomento trattato

2) un PDF TEORIA scritto da me seguendo fedelmente la lezione fatta (potrai utilizzare questo PDF per prendere i tuoi appunti ed integrare ulteriori tue riflessioni). Il PDF contiene esempi di tutti i tipi di disequazioni compresi esempi di disequazioni goniometriche in valore assoluto, sistemi di disequazioni goniometriche e disequazioni prodotto.

3) un PDF ESERCIZI svolti e commentati.

4) un TEST DI VERIFICA che svolgerai quando avrai completato lo studio di teoria di esercizi e ti servirà per fissare ulteriormente i concetti che hai studiato in modo da essere preparato per le interrogazioni, i compiti in classe, i test che dovrai affrontare.

Ora passiamo ad un riepilogo scritto di tutto quello che vedremo relativamente a questo argomento.

In questo paragrafo vediamo come si risolvono le disequazioni goniometriche elementari, riconducibili ad elementari, lineari, di secondo grado omogenee, e fratte! I prerequisiti fondamentali da conoscere per affrontare questo argomento sono i valori delle funzioni goniometriche degli angoli notevoli, la risoluzione di equazioni goniometriche elementari e delle equazioni goniometriche lineari!

Una disequazione goniometrica è un’equazione dove l’incognita x è presente come argomento di una funzione goniometrica.

Disequazioni goniometriche elementari e riconducibili ad elementari

Le disequazioni goniometriche elementari del tipo:

\sin x \lesseqgtr m,\cos x \lesseqgtr m,

\tan x \lesseqgtr m, \cot x \lesseqgtr m con m \in \mathbb{R}

Risolvere una disequazione goniometrica elementare significa determinare l’intervallo sulla circonferenza goniometrica in x che soddisfa l’equazione data.

Per risolvere le disequazioni goniometriche elementari bisogna eseguire esattamente lo stesso procedimento delle equazioni goniometriche elementari, determinando quindi gli angoli soluzione dell’equazione associata.

Poi sul grafico si considera tutto l’arco soluzione compreso tra le soluzioni trovate che soddisfa la disuguaglianza data.

Disequazioni goniometriche lineari

Si definisce disequazione goniometrica lineari in seno e coseno una disequazione del tipo a sinx + b cos x +c \lesseqgtr 0, dove a, b, c \in \mathbb{R}. Il prerequisito fondamentale è saper risolvere le equazioni goniometriche lineari , infatti anche le disequazioni goniometriche lineari si risolvono con il metodo grafico.

Risoluzione delle disequazioni goniometriche lineari con metodo grafico

Questo metodo è senza dubbio immediato per la risoluzione delle disequazioni goniometriche lineari del tipo a\sin x + b \cos x + c \lesseqgtr 0.

Si effettua la sostituzione \begin{cases}\cos x = X \\ \sin x =Y \end{cases} e si riscrive l’equazione lineare associata alla disequazione, inoltre le funzioni seno e coseno devono sempre soddisfare l’identità fondamentale della goniometrica ovvero \sin^2 x + \cos^2 x =1, quindi scriviamo il sistema \begin{cases}aY + b X + c =0 \\ X^2+Y^2=1\end{cases}.

All’interno del sistema quindi troviamo l’equazione di una retta (l’equazione associata alla disequazione di partenza) e l’equazione delle circonferenza goniometrica, ovvero la circonferenza centrata nell’origine degli assi cartesiani e di raggiio unitario. La soluzione dell’equazione è data dagli angoli soluzione che soddisfano il sistema e che si determinano graficamente dai punti di intersezione tra la retta e la circonferenza goniometrica. Trovate le soluzioni dell’equazione dobbiamo risolvere la disequazione. La retta aY + b X + c =0 divide il piano cartesiano in due semipiani e dal momento che dobbiamo determinare la soluzione di una disequazione, dobbiamo determinare il semipiano soluzione. Per farlo adoperiamo un punto di prova P(x_0, y_0) preso arbitrariamente in uno dei due semipiani (non deve appartenere alla retta) e sostituiamo le sue coordinate all’interno della disequazione quindi ay_0+bx_0+c \lesseqgtr 0. Se P soddisfa la relazione allora il semipiano che contiene P è quello soluzione, altriementi sarà l’altro.  A questo punto determinato il semipiano soluzione, scriviamo la soluzione della disequazione goniometrica, data dall’arco di circonferenza compreso nel semipiano soluzione con estremi gli angoli soluzione dell’equazione.

Disequazioni goniometriche di secondo grado omogenee

Si definisce disequazione di secondo grado omogenea in seno e coseno una disequazione del tipo a \sin^2 x + b \cos x \sin x + c \cos^2 x \lesseqgtr a coefficienti reali.

Per risolvere una disequazione goniometrica di secondo grado omogenea in seno e coseno si procede moltiplicando e dividendo per la funzione cos^2x, con la condizione che cos^2x \neq 0 e quindi x \neq \pi/2 + k\pi. La stessa cosa si può esprimere dicendo che si dividono ambo i membri per cos^2x.

Di conseguenza la disequazione di partenza è del tipo cos^2x(a\frac{\sin^2x }{\cos^2 x}+ b\frac{\sin x \cos x }{\cos^2x}+ c \frac{\cos^2x}{\cos^2})\lesseqgtr 0

Quindi per risolvere una disequazione goniometrica di secondo grado omogenea basta risolvere la disequazione  a \tan^2 x+ b\tan x + c=0 , si tratta di una disequazione di secondo grado nella sola funzione tangente, quindi rientra in una delle disequazioni elementari. Determinate le soluzioni della disequazione così ottenuta, abbiamo risolto la disequazione di secondo grado omogenea.

Ovviamente si può anche procedere per risolvere una disequazione goniometrica di secondo grado omogenea in seno e coseno,  moltiplicando e dividendo per la funzione \sin^2x, in questo caso otteniamo una disequazione in cotangente: a \cot^2 x+ b\cot x + c=0.

Attenzione! Cosa succede se nel testo iniziale compare anche il termine noto? Nel caso in cui la disequazione goniometrica di secondo grado non èomogenea ma è del tipo a \sin^2 x + b \cos x \sin x + c \cos^2 x + d \lesseqgtr 0 , basterà osservare che qualsiasi numero d moltiplicato per 1 rimane lo stesso, quindi scriviamo d \cdot 1, ed osserviamo che 1 è uguale all’identità fondamentale della goniometrica, perchè le funzioni seno e coseno devono sempre soddisfare \sin^2x+\cos^2x=1. Allora sostituiamo al posto di 1 l’identità fondamentale e riscriviamo la disequazione come: a \sin^2 x + b \cos x \sin x + c \cos^2 x + d(sin^2 x + \cos^2x) \lesseqgtr 0. Svolgendo i calcoli otteniamo una disequazione omogenea e quindi possiamo risolvera come spiegato sopra.

 

Disequazioni goniometriche fratte

Una disequazione goniometrica fratta è una disequazione del tipo \frac{f(x)}{g(x)} \lesseqgtr 0 dove le funzioni f(x) e g(x) sono funzioni goniometriche, quindi l’incognita x compare come argomento delle funzioni goniometriche. Come tutte le disequazioni fratte, si procede studiando il numeratore ed il denominatore positivi, ovvere il segno della frazione. Si pone quindi il Numeratore ≥0 ed il Denominatore >0 (solo strettamente positivo per rispettare le condizione di esistenza della frazione). Una volta determinata la loro soluzione, si dovrà rappresentare graficamente sulla circonferenza goniometrica il segno del numeratore ed del denominatore su due livelli distinti concentrici alla circonferenza goniometrica. Infine per determinare l’intervallo soluzione si procede con la regola dei segni.

 

Prodotto di disequazioni goniometriche

Per risolvere una disequazione prodotto si usa lo stesso criterio di risoluzione delle disequazioni goniometriche fratte. Studiato ogni fattore della disequazione positivo (mi raccomando solo >0 oppure \geq 0) si esegue lo studio del segno per ogni fattore tutti su circonferenze concentriche e si esegue la regola dei segni. A questo punto se la disequazione iniziale presenta il segno di < 0 oppure \leq 0 allora la soluzione è determinata dagli intervalli con il segno “-“, se invece la disequazione  iniziale presenta il segno >0 oppure\geq 0, allora la soluzione è data dagli intervalli con segno “+”.

L’argomento trattato negli esercizi nel PDF allegato. 

 

Sistemi di disequazioni goniometriche

Per risolvere un sistema di disequazioni goniometriche, si deve risolvere ogni singola disequazione e poi eseguire il grafico intersezione, quindi su livelli concentrici si traccia la soluzone di ogni disequazione. La soluzione è data dalla soluzione comune ovvero dall’intervallo in cui tutte le disequazione del sistema sono verificate.

L’argomento trattato negli esercizi nel PDF allegato. 

 

Disequazioni goniometriche in valore assoluto

Per risolvere una disequazione goniometrica in valore assoluto, si procede esattamente con la teoria delle disequazioni in valore assoluto quindi studiando il modulo e quindi risolveno i sistemi che ne derivano, ed infine facendo il grafico dell’unione tra le soluzioni dei due sistemi.

L’argomento trattato negli esercizi nel PDF allegato. 

 

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Buon lavoro,

prof Barbara

1
LEZIONE TEORIA- Disequazioni goniometriche elementari e riconducibili ad elementari
31 min
2
LEZIONE TEORIA – Disequazioni goniometriche lineari
11 min
3
LEZIONE TEORIA- Disequazioni di secondo grado omogenee
11 min
4
LEZIONE TEORIA- Disequazioni goniometriche fratte
13 min
5
PDF TEORIA
6
PDF ESERCIZI
7
TEST – Equazioni e disequazioni goniometriche lineari
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