Disuguaglianza di Chebyshev- enunciato, dimostrazione, applicazioni e significato della disuguaglianza di Chebyschev

Ciao ragazzi! Benvenuti al paragrafo che riguarda la disuguaglianza di Chebyshev, una delle disuguaglianza più importanti nel calcolo delle probabilità. In questa lezione vediamo l’enunciato, la dimostrazione, il significato e le applicazioni della disuguaglianza di Chebyshev. 

 

Disuguaglianza di Chebyshev

Sia X una variabile aleatoria di media \mu e varianza \sigma^2, se \sigma^2 è piccola, allora P(|X-\mu|\geq a)\leq \frac{\sigma^2}{a^2}.

Questa disuguaglianza è molto utile quando della variabile aleatoria X non ne conosciamo la distribuzione ma è nota la sua media e varianza, e ci dice che se la varianza è piccola allora X non si discosta molto dalla media. 

Per dimostrare la disuguaglianza di Chebyschev occorre la disuguaglianza di Markov che afferma che se X è una variabile aleatoria positiva e a>0, allora P(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{a}.

Quindi data P(|X-\mu|\geq a) elevando al quadrato otteniamo P((X-\mu)^2\geq a^2) dunque siamo nelle ipotesi della disuguaglianza di Markov quindi P((X-\mu)^2\geq a^2)\leq \frac{\mathbb{E}[(X-\mu)]^2}{a^2}=\frac{Var[X]}{a^2}=\frac{\sigma^2}{a^2}, dunque la tesi. 

Osserviamo che nel caso in cui a=k\sigma, ovvero consideriamo uno scostamento dalla media pari a k volte la deviazione standard, otteniamo che P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2} e questo indipendentemente dalla distribuzione di X.

 

Buon lavoro,

prof. Barbara 

 

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Disuguaglianza di Chebyshev
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livello: università