Ciao ragazzi! Benvenuti al paragrafo che riguarda la disuguaglianza di Chebyshev, una delle disuguaglianza più importanti nel calcolo delle probabilità. In questa lezione vediamo l’enunciato, la dimostrazione, il significato e le applicazioni della disuguaglianza di Chebyshev.
Sia X una variabile aleatoria di media \mu e varianza \sigma^2, se \sigma^2 è piccola, allora P(|X-\mu|\geq a)\leq \frac{\sigma^2}{a^2}.
Questa disuguaglianza è molto utile quando della variabile aleatoria X non ne conosciamo la distribuzione ma è nota la sua media e varianza, e ci dice che se la varianza è piccola allora X non si discosta molto dalla media.
Per dimostrare la disuguaglianza di Chebyschev occorre la disuguaglianza di Markov che afferma che se X è una variabile aleatoria positiva e a>0, allora P(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{a}.
Quindi data P(|X-\mu|\geq a) elevando al quadrato otteniamo P((X-\mu)^2\geq a^2) dunque siamo nelle ipotesi della disuguaglianza di Markov quindi P((X-\mu)^2\geq a^2)\leq \frac{\mathbb{E}[(X-\mu)]^2}{a^2}=\frac{Var[X]}{a^2}=\frac{\sigma^2}{a^2}, dunque la tesi.
Osserviamo che nel caso in cui a=k\sigma, ovvero consideriamo uno scostamento dalla media pari a k volte la deviazione standard, otteniamo che P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2} e questo indipendentemente dalla distribuzione di X.
Buon lavoro,
prof. Barbara