Dominio di funzioni reali di variabili e reale, definizione di dominio e codominio di una funzione, come determinare il dominio di una funzione e rappresentarlo sul piano cartesiano

Ciao ragazzi e benvenuti al paragrafo dedicato al dominio di una funzione reale di variabile reale, vedremo la definizione di dominio e codominio ed in particolare come determinare il dominio di una funzione! Per affrontare con successo questo argomento è di fondamentale importanza saper risolvere le equazioni e disequazioni di funzioni algebriche di qualsiasi grado, irrazionali, in valore assoluto, goniometriche, esponenziali e logaritmiche.

Prima di riepilogare in questa descrizione i vari argomenti che tratteremo nella lezione, ti mostro sinteticamente cosa contiene questo PACCHETTO 1) una LEZIONE DI TEORIA sull’argomento trattato 2) un PDF TEORIA scritto da me seguendo fedelmente la lezione fatta (potrai utilizzare questo PDF per prendere i tuoi appunti ed integrare ulteriori tue riflessioni) 3) un PDF ESERCIZI svolti e commentati. 4) Due PDF SCHEMI, uno relativo al dominio e codominio di funzioni elementari con il loro grafico, ed uno riassuntivo su come impostare il dominio di una data funzione. 5) un TEST DI VERIFICA che svolgerai quando avrai completato lo studio di teoria di esercizi e ti servirà per fissare ulteriormente i concetti che hai studiato in modo da essere preparato per le interrogazioni, i compiti in classe, i test che dovrai affrontare. Ora passiamo ad un riepilogo scritto di tutto quello che vedremo relativamente a questo argomento.

Funzione

Si definisce funzione e si indica f:A \to B, una relazione che associa ad ogni elemento x del dominio A uno ed un solo elemento del codominio B. Dove A e B sono due sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali \mathbb{R}.

Dominio e Codominio

Data una funzione y=f(x) si definisce dominio della funzione l’insieme dei valori reali che può assumere la variabile indipendente x per i quali esiste l’immagine f(x). Quindi determinare il dominio di una funzione significa stabilire per quali valori di x esiste o non esiste l’immagine f(x). Si definisce codominio l’insieme di tutte le immagini. Esempio: la funzione y=|x| ha come dominio l’insieme di tutti i numeri reali, quindi Dom: \forall x \in \mathbb{R} ed il Codominio è l’insieme dei reali positivi in quanto l’immagine è contenuta tutta nel primo e secondo quadrante, quindi Cod: \mathbb{R^+}.

Come determinare il dominio di una funzione

Per determinare il dominio di una data funzione f(x) bisogna considerare che le funzioni si dividono in funzioni algebriche ovvero razionali intere, razionali fratte ed irrazionali, e funzioni trascendenti ovvero funzioni goniometriche, esponenziali e logaritmiche. Ad ogni classe di funzioni corrisponde un suo dominio. Una cosa molto utile per comprendere il dominio di una funzione è avere presente il grafico delle funzioni elementari sul piano cartesiano, lo trovate nel PDF allegato al paragrafo.

Notazione:

Nel caso in cui la funzione è definita solo per un determinato intervallo di valori, per indicare il dominio di una funzione possiamo usare la notazione insiemistica quindi {\mathbb{R} : x <-1 \vee x \geq 0}, oppure la notazione per intervalli quindi Dom: (-\infty, -1)\cup [0, + \infty) Nel caso in cui escludiamo dall’insieme di tutti i numeri reali dei singoli punti, ovvero la funzione è ovunque definita tranne in un punto x_0 o più punti, scriveremo \mathbb{R}\setminus x_0 o equivalentemente x \neq x_0.

Funzioni algebriche

Le funzioni algebriche si dividono in funzioni intere e frazionarie, a loro volta queste possono essere razionali o irrazionali. Vediamo nel dettaglio il loro dominio.

Polinomiali o razionali intere

Una funzione è polinomiale intera è del tipo y=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0, il cui dominio è Dom: \forall x \in \mathbb{R} Esempi: La retta, la parabola sono funzioni polinomiali e quindi definite per tutti i punti reali, in generale questo vale per tutti i polinomi di grado n.

Razionali fratte

Una funzione razionale è una funzione del tipo y=\frac{N(x)}{D(x)}, il cui dominio è Dom: D(x) \neq 0. Infatti in matematica quando eseguiamo una divisione ci dobbiamo preoccupare di non dividere per una quantità nulla, quindi dobbiamo escludere tutti quei valori che annullano il denominatore. In altri termini i valori di x che rendono nullo tutto il denominatore D(x) sono quei valori che non fanno parte del dominio, quindi sono quelle x per le quali non esiste l’immagine. A livello grafico quindi sul piano cartesiano andiamo a tracciare delle rette verticali passanti per i punti esclusi, questo significa che la funzione avrà un’interruzione in corrispondenza di dati punti, ovvero non ha immagine. Esempio:La funzione y=\frac{x}{x+1} ha dominio x\neq -1. Esempio: La funzione y=\frac{x+1}{x^2+1} ha dominio \forall x \in \mathbb{R} Osserviamo però che potremmo avere anche altri tipi di funzione al denominatore, non solo funzioni polinomiali, ma qualsiasi essa sia dovremmo sempre imporre che il denominatore sia diverso da zero.

Irrazionali

Una funzione irrazionale è del tipo y=\sqrt[n]{f(x)}, il cui dominio dipende dall’indice n della radice:

Caso n pari: se n è pari il dominio è f(x) \geq 0, infatti nell’insieme dei numeri reali, un radicale di indice pari esiste solo se il suo argomento è positivo. Dunque dovremmo risolvere la disequazione e determinare l’intervallo di x che la soddisfi, l’intervallo soluzione è proprio il dominio della funzione. A livello grafico quindi dovremmo escludere tutto il semipiano che non è soluzione, infatti per i valori di x non appartenenti al dominio non esisterà l’immagine. Esempio: la funzione y=\sqrt{x^2-1} ha come dominio x\leq -1 \vee x \geq 1 Osservazione: potrebbe succedere che come argomento della radice ci sia anche un altro tipo di funzione, non è detto che l’argomento sia sempre una funzione polinomiale, ma la tecnica risolutiva sarà sempre quella di imporre che l’argomento sia positivo. Esempio: la funzione y=\sqrt{\sin x} per determinare il dominio risolviamo \sin x \geq 0 da cui 0 + 2k \pi \leq x \leq \pi +2k\pi , k \in \mathbb{Z}.

Caso n dispari: se n è dispari invece il dominio di y=\sqrt[n]f(x) è sempre determinato, quindi Dom: \forall x \in \mathbb{R}, questo perchè nell’insieme dei numeri reali, una radice di indice dispari esiste anche se il suo argomento è negativo. In questo caso però dovremmo preoccuparci di verificare il dominio della funzione al suo argomento. Quindi possiamo concludere dicendo che una funzione irrazionale con indice dispari esiste sempre a patto che sia definita la funzione al suo argomento. Esempio: la funzione y=\sqrt[3]{x^3-2x+1} ha come dominio \forall x \in \mathbb{R} Esempio: la funzione y=\sqrt[3]{\frac{x}{x+1}} ha come dominio x \neq 1 in quanto la funzione irrazionale esiste sempre poichè la radice ha indice dispari, però l’argomento è una funzione razionale fratta e quindi dovremmo imporre la condizione del denominatore non nullo.

Funzioni trascendenti

Le funzioni trascendenti sono le funzioni goniometriche, quelle logaritmiche ed esponenziali. Vediamo nel dettaglio come determinarne il dominio.

Goniometriche o trigonometriche

Di seguito elenchiamo le funzioni goniometriche o trigonometriche con il rispettivo dominio y=\sin x ha dominio: \mathbb{R} y=\cos x ha come dominio \mathbb{R} y=\tan x ha come dominio x \neq \pi/2 + k\pi y=\cot x ha come dominio x \neq 0 + k\pi y= \sec x ha come dominio x \neq \pi/2 + k\pi y=\cosec ha come dominio x \neq 0 + k\pi y=\arcsin x ha come dominio x \in [-1;1] y=\arccos x ha come dominio x \in [-1;1] y=\arctan x ha come dominio \mathbb{R} y=arccot x ha come dominio \mathbb{R}

Esponenziali

In generale la funzione esponenziale y=a^{f(x)} con la base tale che a>0, a \neq 1, è sempre definita a patto che sia definita la funzione a suo esponente, quindi per determinare il dominio della funzione y=a^{f(x)} dovremmo osservare il dominio dell’esponente f(x). La funzione y=e^x ha come dominio \forall x \in \mathbb{R}, infatti la funzione esponenziale è sempre definita. Esempio: la funzione y=e^{\frac{1}{x}} ha come dominio x \neq 0 Inoltre osserviamo che nel caso in cui la base non sia intera ma è una funzione, quindi se la funzione è del tipo y=f(x)^{g(x)} allora il dominio è dato da più condizioni: \begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0<span class="Apple-converted-space">  </span>\end{cases} infatti la funzione y=f(x)^{g(x)} si può scrivere come y=e^{g(x)\log f(x)}, il si determina il dominio imponendo sempre che la base f(x) sia positiva e l’esponente g(x) sia definito. Esempio: la funzione y=x^x ha come dominio x>0

Logaritmiche

La funzione y=log_a f(x) ha come dominio f(x)>0, dove la base a>0, a \neq 1. Ricordiamo infatti che il logaritmo non è mai definito in zero, in altri termini la funzione logaritmo esiste se e soltanto se il suo argomento è strettamente positivo. Nel caso in cui la funzione logaritmica è del tipo y=log_{g(x)}f(x), allora il dominio sarà dato dalle condizioni: \begin{cases}g(x)>0 \\ g(x)\neq 1 \\ f(x)>0\end{cases}   Infine vediamo i casi particolari ovvero esaminiamo il dominio di funzioni più complesse, dove questo sarà determinato da più condizioni che dovranno verificarsi contemporaneamente e quindi dovremmo metterle a sistema. Esempio: la funzione y=\frac{e^{\sqrt x}}{\log(x^2-1)} ha dominio dato dalla risoluzione del sistema: \begin{cases} x \geq 0 \\ \log{(x^2-1)} \neq 0 \\ x^2-1>0\end{cases} da cui otteniamo che la soluzione è Dom: 1 < x < \sqrt 2 \vee x> \sqrt 2 .

Buon lavoro,

prof. Barbara

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