Ciao ragazzi benvenuti al paragrafo dedicato alla risoluzione delle equazioni goniometriche elementari e riconducibili ad elementari!

Prima di riepilogare in questa descrizione i vari argomenti che tratteremo nella lezione, ti mostro sinteticamente cosa contiene questo PACCHETTO

1) una LEZIONE DI TEORIA sull’argomento trattato

2) un PDF TEORIA scritto da me seguendo fedelmente la lezione fatta (potrai utilizzare questo PDF per prendere i tuoi appunti ed integrare ulteriori tue riflessioni)

3) un PDF ESERCIZI svolti e commentati. Se sei un abbonato allora potrai seguire la LIVE esclusiva in cui risolverò e commenterò gli esercizi di questo PDF (leggi data ed ora della LIVE in bacheca nel corso oppure andando direttamente nella sezione streaming)

4) un TEST DI VERIFICA che svolgerai quando avrai completato lo studio di teoria di esercizi e ti servirà per fissare ulteriormente i concetti che hai studiato in modo da essere preparato per le interrogazioni, i compiti in classe, i test che dovrai affrontare.

Ora passiamo ad un riepilogo scritto di tutto quello che vedremo relativamente a questo argomento.

Equazioni goniometriche elementari 

Un’equazione goniometrica è un’equazione dove l’incognita x è presente come argomento di una funzione goniometrica. In questo paragrafo vedremo come risolvere le equazioni goniometriche elementari del tipo:

\sin x =m,\cos x =m con m\in \mathbb{R}, -1\leq m \leq 1

\tan x =m, \cot x =m con m \in \mathbb{R}

Risolvere un’equazione goniometrica elementare significa determinare quell’angolo x che soddisfa l’equazione data.

Equazioni goniometriche elementari in seno

Consideriamo un’equazione goniometrica del tipo \sin x =m, con m\in \mathbb{R}, -1\leq m \leq 1, per poterla risolvere consideriamo la circonferenza goniometrica (circonferenza centrata nell’origine degli assi cartesiani e di raggio unitario) e consideriamo sulle ordinate il valore m a cui corrisponderanno due angoli soluzione ottenuti dall’intersezione tra la retta orizzontale y=m e la circonferenza goniometrica. In particolare ricordando che la funzione goniometrica coseno è periodica di periodo T=2\pi si hanno i seguenti casi:

1) se m<1 oppure m>1 l’equazione goniometrica è impossible, in quanto la funzione seno può assumere solo i valori -1 \leq \sin x \leq 1

2) se -1\leq m \leq 1 l’equazione goniometrica ha due soluzioni date da: x=\alpha + 2k\pi V x=\pi-\alpha + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}, dove \alpha = \arccos x

3) se m=1 l’equazione goniometrica ha soluzione x=\pi/2 + 2k \pi,k \in \mathbb{Z}

4) se m=-1 l’equazione goniometrica ha soluzione x=3\pi/2 + 2k \pi,k \in \mathbb{Z}

5) se m=0 l’equazione goniometrica ha soluzione x=0 + k \pi,k \in \mathbb{Z}

Equazioni goniometriche elementari in coseno

Consideriamo un’equazione goniometrica del tipo \cos x =m, con m\in \mathbb{R}, -1\leq m \leq 1, per poterla risolvere consideriamo la circonferenza goniometrica (circonferenza centrata nell’origine degli assi cartesiani e di raggio unitario) e consideriamo sulle ascisse il valore m a cui corrisponderanno due angoli soluzione ottenuti dall’intersezione tra la retta verticale x=m e la circonferenza goniometrica. In particolare ricordando che la funzione goniometrica seno è periodica di periodo T=2\pi si hanno i seguenti casi:

1) se m<1 oppure m>1 l’equazione goniometrica è impossible, in quanto la funzione seno può assumere solo i valori -1 \leq \sin x \leq 1

2) se -1\leq m \leq 1 l’equazione goniometrica ha due soluzioni date da: x=\alpha + 2k\pi V x=-\alpha + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}, dove \alpha = \arcsin x

3) se m=1 l’equazione goniometrica ha soluzione x=0+ 2k \pi,k \in \mathbb{Z}

4) se m=-1 l’equazione goniometrica ha soluzione x=\pi+ 2k \pi,k \in \mathbb{Z}

5) se m=0 l’equazione goniometrica ha soluzione x=\pi+ k \pi,k \in \mathbb{Z}

Equazioni goniometriche elementari in tangente

Consideriamo un’equazione goniometrica del tipo \tan x =m, con m\in \mathbb{R}, per poterla risolvere consideriamo la circonferenza goniometrica (circonferenza centrata nell’origine degli assi cartesiani e di raggio unitario) e tracciamo la tangente parallela all’asse y passante per il punto di coordinate (1;0). Gli angoli soluzione sono quelli ottenuti dall’intersezione della retta di equazione y=mx con la circonferenza goniometrica.

Quindi l’equazione goniometrica \tan x = m ha soluzione x=\alpha +k\pi, k \in \mathbb{Z}, dove \alpha = \arctan x

infatti il periodo della funzione goniometrica tangente è T=\pi.

Equazioni goniometriche elementari in cotangente

Consideriamo un’equazione goniometrica del tipo \cot x =m, con m\in \mathbb{R}, per poterla risolvere consideriamo la circonferenza goniometrica (circonferenza centrata nell’origine degli assi cartesiani e di raggio unitario) e consideriamo sulla cotangente il punto di ascissa m e tracciamo la retta passante per il punto e l’origine degli assi.

Gli angoli soluzione sono quelli ottenuti dall’intersezione della retta con la circonferenza goniometrica.

Quindi l’equazione goniometrica \cot x = m ha soluzione x=\alpha +k\pi, k \in \mathbb{Z}, dove \alpha = arccot x

infatti il periodo della funzione goniometrica cotangente è T=\pi.

Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari

Sono equazioni goniometriche riconducibili ad elementari quelle equazioni di secondo grado o grado superiore in una sola funzione goniometrica. Nel caso di equazioni goniometriche elementari di secondo grado, queste si risolvono determinando le soluzioni dell’equazione di secondo grado ricavando le due soluzioni della funzione goniometrica. A questo punto dobbiamo risolvere due equazioni goniometriche elementari con la tecnica spiegata sopra, ricavando così le soluzioni di x.

Un’equazione goniometrica si può ricondurre ad una equazione goniometrica elementare attraverso:

• sostituzione
• utilizzo di relazioni fondamentali che ricordiamo sono \sin^2 x+\cos^2 x=1 e \tan x = \frac{\sin x}{cos x}
• utilizzo di formule goniometriche
• risoluzione di equazioni di secondo grado o ordine superiore nella stessa funzione goniometrica.

Buon lavoro!

prof. Barbara

Questo materiale didattico come tutti quelli inclusi in questo sito è tutelato dal diritto d’autore dell’insegnante che lo ha creato. Come da contratto presente su questo sito è vietata qualsiasi riproduzione anche parziale e condivisione con persone che non hanno acquistato il materiale. Prima dell’acquisto si raccomanda di leggere le condizioni di contratto regolamentate dal codice del consumo per quanto riguarda i beni acquistabili online.