Equazioni goniometriche lineari, come risolvere le equazioni goniometriche lineari in seno e coseno, metodo grafico

Ciao ragazzi e benvenuti al paragrafo sulle equazioni goniometriche lineari! I prerequisiti fondamentali da conoscere per affrontare la risoluzione delle equazioni goniometriche lineari sono i valori delle funzioni goniometriche degli angoli notevoli e la risoluzione di equazioni elementari e riconducibili ad elementari! 

Equazioni goniometriche lineari

Si definisce equazione goniometrica lineare in seno e coseno un’equazione del tipo a sinx + b cos x +c=0, dove a, b, c \in \mathbb{R}. Se c=0 allora l’equazione prende il nome di equazione goniometrica lineare omogenea.

Le equazioni goniometriche lineari hanno diversi metodi risolutivi:

-metodo delle sostituzione parametriche

– metodo del sistema (trattato nella videolezione fondamentale per le disequazioni goniometriche lineari) 

-metodo grafico (trattato nella videolezione fondamentale per le disequazioni goniometriche lineari) 

-metodo dell’angolo aggiunto

Uno dei metodi più veloci per risolvere le disequazioni goniometriche lineari è la risoluzione con il metodo grafico che vediamo subito nel dettaglio.

Risoluzione delle equazioni goniometriche lineari con il sistema e metodo grafico

Questo metodo è senza dubbio immediato per la risoluzione delle equazioni goniometriche lineari del tipo a\sin x + b \cos x + c=0, le funzioni seno e coseno compaiono quindi al primo ordine ed è per questo che l’equazione viene detta lineare. 

Grazie alla definizione di seno e coseno, si effettua la sostituzione \begin{cases}\cos x = X \\ \sin x =Y \end{cases} e si riscrive l’equazione lineare di partenza ovvero aY + b X + c =0 . Osserviamo che deve valere l’identità fondamentale della goniometrica ovvero \sin^2 x + \cos^2 x =1, quindi impostiamo il sistema \begin{cases}aY + b X + c =0 \\ X^2+Y^2=1\end{cases}.

All’interno del sistema quindi troviamo l’equazione di una retta aY + b X + c =0  e l’equazione delle circonferenza goniometrica X^2+Y^2=1 , cioè la circonferenza centrata nell’origine degli assi cartesiani e di raggio 1. Adesso graficando la retta e la circonferenza, i punti di intersezione tra la retta e la circonferenza goniometrica, se esistono, sono dagli angoli soluzione dell’equazione lineare. Questi si possono determinare direttamente per via grafica se sono noti, oppure basterà risolvere il sistema e scrivere le soluzioni ottenute! 

Il grafico è uno strumento fondamentale, quindi anche nel caso in cui si proceda alla risoluzione con il sistema, è opportuno dopo fare il grafico, costituirà il prerequisito fondamentale per la risoluzione delle disequazioni goniometriche lineari. 

Buon lavoro,

prof Barbara