Integrali impropri (integrali generalizzati)-Integrali impropri su intervalli illimitati (integrali impropri di prima specie)-Integrali impropri su intervalli limitati (integrali impropri di seconda specie)-Come valutare la convergenza di un integrale improprio-Come calcolare un integrale improprio

Prima di riepilogare in questa descrizione i vari argomenti che tratteremo nella lezione, ti mostro sinteticamente cosa contiene questo pacchetto: 1) una LEZIONE DI TEORIA sull’argomento trattato 2) un PDF TEORIA scritto da me seguendo fedelmente la lezione fatta (potrai utilizzare questo PDF per prendere i tuoi appunti ed integrare ulteriori tue riflessioni) 3) un PDF ESERCIZI svolti e commentati. 4) un TEST DI VERIFICA che svolgerai quando avrai completato lo studio di teoria di esercizi e ti servirà per fissare ulteriormente i concetti che hai studiato in modo da essere preparato per i test e gli esami che dovrai affrontare. Ora passiamo ad un riepilogo scritto di tutto quello che vedremo relativamente a questo argomento.

Questo paragrafo è completamente dedicato agli Integrali Impropri (integrali generalizzati) sia in merito al calcolo sia in merito alla valutazione della loro convergenza, che può essere annoverato tra gli argomenti più gettonati di Analisi Matematica 1. Si tratta di una lezione che fa parte del corso di Analisi Matematica 1 dedicato a tutti gli studenti che devono affrontare questa materia al primo anno delle principali facoltà dell’ambito STEM. All’interno di questo percorso avremo modo di introdurre l’Analisi Matematica, senza tralasciarne gli aspetti più profondi nel tentativo di fornire gli strumenti utili a risolvere gli esercizi con diversi livelli di difficoltà. Dopo aver ripassato insieme alcuni degli strumenti di algebra necessari a raggiungere la piena consapevolezza della materia, in questo corso vengono proposti contenuti che sono stati integrati nel libro di testo, Lezioni di Analisi Matematica, del prof. Daniele Ritelli (UNIBO) edito dalla Società Editrice Esculapio. Sono stati prodotti, con grande cura e dovizia di particolari, più di settanta video a supporto del manuale. In questo modo si è cercato di dare risposta alla continua, incessante e, sopratutto, insaziabile, richiesta di esempi operativi per lo svolgimento di esercizi da parte degli studenti; inoltre le tecniche risolutive sono illustrate con un livello di dettaglio che, per ragioni di tempo, raramente viene fornito a livello universitario, dove era tradizione scaricare sullo studente il tempo e le sofferenze necessarie all’apprendimento dell’arte di risolvere problemi. Vediamo nel dettaglio di cosa parleremo in questo paragrafo e…buono studio 😉

Cosa sono gli Integrali Impropri o Integrali Generalizzati?

In questo paragrafo vedremo come sia possibile estendere la nozione di funzione integrabile nel caso in cui si consideri l’integrale di Riemann di una funzione f(x):A\rightarrow \mathbb{R} , con A\subseteq \mathbb{R} , definita su un intervallo A illimitato (integrale improprio di prima specie) o che risulti essere illimitata in un intervallo limitato (integrale improprio di seconda specie)

Definizione di Integrale improprio su intervallo illimitato (integrale improprio di prima specie)

Presa una funzione f(x):[a;+\infty ]\rightarrow \mathbb{R}, integrabile su ogni intervallo [a;b], diremo che f(x) è integrabile in senso improprio o in senso generalizzato su [a;+\infty ] se seiste finito il limite: \lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx In questo caso si dice che l’integrale improprio (generalizzato) converge e porremo: \int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx  

Condizione necessaria di convergenza per integrali impropri (generalizzati) di prima specie

Consideriamo una funzione f(x):[a;+\infty ]\rightarrow \mathbb{R} che sia continua e non negativa in [a;+\infty ]. Condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza dell’integrale improprio di prima specie è che la funzione sia infinitesima all’infinito, dunque che: \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0  

Criteri di convergenza per integrali impropri (generalizzati) di prima specie

Molto spesso risulta conveniente valutare a priori la convergenza dell’integrale, evitando quindi di effettuare il calcolo dell’integrale che potrebbe condurre ad un limite infinito o non esistente. Uno dei teoremi che può aiutarci a capire se la funzione f(x):[a;+\infty ]\rightarrow \mathbb{R} è integrabile in senso generalizzato è il Teorema del Confronto: Prese due funzioni f(x), g(x):[a;+\infty ]\rightarrow \mathbb{R} non negative, entrambe integrabili su ogni intervallo [a;b] e tali che \forall x\in \mathbb{R} si verifichi che 0\leq f(x)\leq g(x) allora:

• se g(x) è integrabile in senso improprio in [a;+\infty ] anche f(x) è integrabile in senso improprio su [a;+\infty ]
• se f(x) non è integrabile in senso improprio in [a;+\infty ] anche g(x) non è integrabile in senso improprio su [a;+\infty ]

Un corollario a questo teorema afferma che: Sia f(x):[a;+\infty ]\rightarrow \mathbb{R} una funzione integrabile su ogni [a;b]. Se \left | f(x) \right |\leq g(x) allora g(x) è integrabile su [a;+\infty ] Inoltre vale anche il criterio (teorema) di convergenza assoluta per cui: Sia f(x):[a;+\infty ]\rightarrow \mathbb{R} con  \left | f(x) \right |integrabile su [a;+\infty ], allora anche f(x) è integrabile su [a;+\infty ]. In questo caso f(x) si dice assolutamente integrabile. Attenzione: Non è vero il viceversa! Uno dei criteri di convergenza particolarmente utili nelle applicazioni e quindi anche negli esercizi, si basa sulla seguente proposizione: Sia f(x):[a;+\infty ]\rightarrow \mathbb{R} una funzione integrabile su ogni [a;b]. Se esiste un \alpha >1 per cui sia finito diverso da zero il seguente limite \lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\alpha }f(x)=l allora f(x) è integrabile in senso imrporpio su [a;+\infty ]  

Definizione di Integrale improprio su intervalli limitati (integrale improprio di seconda specie)

Presa una funzione f(x):[a;b)\rightarrow \mathbb{R}, integrabile su ogni intervallo [a;b-\varepsilon ], diremo che f(x) è integrabile in senso improprio o in senso generalizzato su [a;b] se esiste finito il limite:

In questo caso si dice che l’integrale improprio (generalizzato) converge e porremo:

Quanto appena visto vale anche per funzioni che risultino essere illimitate nell’estremo inferiore dell’intervallo di definizione, in questo caso infatti avremo che:

Presa una funzione f(x):(a;b]\rightarrow \mathbb{R}, integrabile su ogni intervallo [a+\varepsilon ;b], diremo che f(x) è integrabile in senso improprio o in senso generalizzato su [a;b] se esiste finito il limite:

In questo caso si dice che l’integrale improprio (generalizzato) converge e porremo:

Criteri di convergenza per integrali impropri (generalizzati) di seconda specie

Anche in questo caso risulta conveniente valutare a priori la convergenza dell’integrale, evitando quindi di effettuare il calcolo dell’integrale che potrebbe condurre ad un limite infinito o non esistente. Uno dei criteri di convergenza che potrebbe essere molto utile si basa sul seguente teorema che viene espresso nei due casi come segue:

Sia f(x):[a;b)\rightarrow \mathbb{R}, integrabile su ogni intervallo [a;b-\varepsilon ]. Se esiste finito diverso da zero il limite

allora f(x) è integrabile in senso improprio o in senso generalizzato su [a;b)

Sia f(x):(a;b]\rightarrow \mathbb{R}, integrabile su ogni intervallo [a+\varepsilon ;b]. Se esiste finito diverso da zero il limite

allora f(x) è integrabile in senso improprio o in senso generalizzato su (a;b]

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