Integrali per parti: come risolvere gli integrali applicando la formula di integrazione per parti

Benvenuti al paragrafo sugli integrali per parti! In questa lezione vedremo come si risolvono gli integrali grazie alla formula di integrazione per parti! 

Integrali per parti

La formula (teorema) di integrazione per parti la possiamo utilizzare per risolvere gli integrali indefiniti e definiti, nel caso in cui la funzione integranda si scrive come prodotto di due funzioni, di cui una la sappiamo derivare e l’altra la sappiamo integrare. 

Se abbiamo quindi un intergrale del tipo \int f(x)\cdot g(x) dx, chiamiamo f(x) la funzione che deriviamo e quindi ne calcoliamo la derivata prima f'(x), e chiamiamo g(x) la funzione che integriamo, quindi ne calcoliamo la primitiva G(x). A questo punto possiamo utilizzare la formula per parti che ci permetterà di riscrivere l’integrale di partenza: 

A questo punto dobbiamo risolvere il nuovo integrale ottenuto \int f'(x)\cdot G(x) dx che, se abbiamo scelto bene la funzione da derivare e quella da integrare, dovrà risultare più semplice da risolvere se non immediato!

Integrali per parti ricorsivi

Sia dato l’integrale I=\int f(x)\cdot g(x) dx che vogliamo risolvere attraverso la formula per parti, ed applicandola ci ritroviamo ad avere I=\int f(x)\cdot g(x) dx= f(x)\cdot G(x)-\int f'(x)\cdot G(x) dx dove però l’integrale I_1=\int f'(x)\cdot G(x) dx questa volta non è immediato e sul quale possiamo nuovamente applicare la formula per parti, questa volta ottenaimo però lo stesso integrale di partenza I.  In questo caso basterà risolvere un’equazione nell’incognita I per determianre il risultato dell’integrale.

Buono studio!