Che cos’è la funzione Hamiltoniana? Spiegazione del formalismo lagrangiano e hamiltoniano, delle parentesi di Poisson e delle equazioni di Hamilton. Applicazione ad alcuni sistemi fisici

Questa è la spiegazione della funzione hamiltoniana e delle sue applicazioni in fisica. Qui troverai una lezione teorica contenente la spiegazione della funzione hamiltoniana da un punto di vista matematico e fisico e alcuni esempi di applicazione di tale strumento matematico. La spiegazione è correlata anche di un file in pdf contenente riassunti ed esercizi svolti. che trovi nell’apposito capitolo.

Formalismo lagrangiano

Per prima cosa verrà ripreso il formalismo lagrangiano, indispensabile per affrontare e risolvere un gran numero di problemi fisici, che riguardano sia la fisica classica sia la fisica moderna. Il formalismo lagrnagiano considera la cosiddetta funzione Lagrangiana, che contempla la variabile dinamica q e la sua derivata rispetto al tempo. Verranno anche portati alcuni esempi di applicazione del formalismo hamiltoniano, ad esempio verrà descritta la seconda legge della dinamica all’interno di tale notazione, facendo uso delle equazioni di Eulero-Lagrange.

Formalismo hamiltoniano

Successivamente, a patire dalla funzione lagrangiana verrà mostrato in modo generale, ma anche semplice, come passare alla funzione hamiltoniana (che è l’elemento centrale del formalismo hamiltoniano) che conterrà due variabili dinamiche: la p e la q. Verranno quindi mostrate le equazioni di Hamilton, sulla falsa riga delle equazioni di Eulero-Lagrange mostrate in precedenza. Diverrà quindi chiara l’utilità e la potenza dell’approccio hamiltoniano. Il formalismo hamiltoniano risulterà essere uno strumento molto potente per affrontare moltissimi problemi di fisica.

Parentesi di Poisson

All’interno del formalismo hamiltoniano risulta molto utile l’uso delle cosiddette parentesi di Poisson, che verranno definite in modo generale e usate immediatamente all’interno del formalismo hamiltoniano introdotto. Le equazioni del moto hamiltoniane verranno quindi scritte mediante le parentesi di Poisson. Diverrà quindi chiaro che anche relazioni molto complesse potranno essere scritte in modo sintetico mediante le parentesi di Poisson.

Principio di minima azione

Infine verrà mostrato un modo di esprimere l’azione di un sistema fisico attraverso la funzione hamiltoniana e il principio di minima azione assumerà una forma nuova e molto potente, che permetterà di affrontare problemi fisici appartenenti a moltissimi ambiti della fisica classica e moderna (dalla meccanica alla relatività generale, passando per la meccanica quantistica). Il principio di minima azione, che ha un significato molto profondo, assume all’interno del formalismo hamiltoniano una forma molto chiara, sintetica ed elegante. L’evoluzione di un sistema fisico all’interno del formalismo hamiltoniano è regolataproprio dal principio di minima azione

1
Introduzione alla funzione Hamiltoniana
11 min

Questa sezione al momento non è attiva

aggiungi alla lista dei desideri
iscritti: 17 studenti
durata: 11 min
lezioni: 1
video: 1
livello: università