La matematica della seconda quantizzazione: sistemi fisici complessi, meccanica statistica quantistica, operatori e basi

La seconda quantizzazione è il formalismo che si usa per descrivere e analizzare i sistemi quantistici a molti corpi.

Fu introdotta nell’ambito della teoria quantistica dei campi (dove è conosciuta come quantizzazione canonica), in cui si pensa ai campi (tipicamente le funzioni d’onda della materia) come a operatori di campo, in modo simile a come le quantità fisiche (posizione, quantità di moto, etc.) sono considerate come operatori nel primo formalismo della meccanica quantistica (“prima quantizzazione”). Le idee cruciali di questo metodo furono formulate nel 1927 da Paul Dirac e sviluppate successivamente in particolare da Vladimir Fock e Pascual Jordan.

Un formalismo oltre alla funzione d’onda

Il primo formalismo della meccanica quantistica era basato sulla funzione d’onda come rappresentazione in coordinate spaziali del vettore di stato in uno spazio di Hilbert in cui le osservabili erano operatori lineari. Nella seconda quantizzazione le funzioni d’onda vengono sostituite da operatori (che per l’andamento continuo nello spazio vengono definiti operatori di campo) di un determinato spazio di Hilbert con infiniti gradi di libertà, chiamato spazio di Fock o spazio dei numeri d’occupazione. Gli operatori di campo agiscono in particolare sugli stati dello spazio di Fock, costruiti riempiendo gli stati a singola particella con un certo numero di particelle identiche (stati di Fock), come operatori di creazione e distruzione di particelle in un dato punto a un dato tempo, fornendo le basi per la teoria quantistica a molti corpi.

Operatori di creazione e di distruzione

In fisica un operatore di creazione è un operatore che aumenta di uno il numero di particelle di uno stato quantistico. L’operatore di distruzione è al contrario un operatore che riduce di uno il numero di particelle di uno stato ed è l’operatore aggiunto dell’operatore di creazione. L’uso di questi operatori è stato introdotto nel caso del problema dell’oscillatore armonico quantistico, dove sono definiti come gli operatori che aggiungono o rimuovono un quanto di energia al sistema. In seguito il loro uso è stato generalizzato a molti altri problemi e in generale la loro introduzione è alla base della teoria quantistica dei campi.

L’indistinguibilità tra particelle

Il punto di partenza del formalismo della seconda quantizzazione è il concetto di indistinguibilità delle particelle in meccanica quantistica. A differenza della meccanica classica, in cui ogni particella è identificata da un distinto vettore posizione e diverse configurazione dell’insieme dei vettori corrispondono a diversi stati a molti corpi, in meccanica quantistica le particelle sono identiche, nel senso che scambiare due particelle non porta a due stati diversi. Questo implica che la funzione d’onda dello stato a molti corpi deve essere invariante (a meno di un fattore di fase) per scambio di due particelle. A seconda della statistica delle particelle, la funzione d’onda a molti corpi può essere o simmetrica o antisimmetrica per lo scambio di particelle.

Il significato della seconda quantizzazione

Nel linguaggio della seconda quantizzazione, invece di chiedersi “quale particella in quale stato”, ci si chiede “quante particelle ci sono in ciascuno stato?”. Siccome questa descrizione non fa riferimento a come sono contrassegnate le singole particelle, non contiene informazioni ridondanti e quindi porta a una descrizione più semplice e precisa dello stato quantistico a molti corpi. In questo approccio, lo stato a molti corpi è rappresentato nella cosiddetta “base del numero di occupazione” e lo stato di base è contrassegnato dal’insieme dei “numeri di occupazione”.

In questo paragrafo riprenderemo tutti questi concetti, fornendo delle descrizioni quantitative e matematicamente precise.