Polinomi di Taylor: cosa sono i polinomi di Taylor, a cosa servono e come si calcolano

Benvenuti in questo paragrafo completamente dedicato al Polinomio di Taylor che può essere visto come uno dei concetti cardine alla base dell’Analisi matematica 1.

Si tratta di una lezione che fa parte del corso di Analisi Matematica 1 dedicato a tutti gli studenti che devono affrontare questa materia al primo anno delle principali facoltà dell’ambito STEM. All’interno di questo percorso avremo modo di introdurre l’Analisi Matematica, senza tralasciarne gli aspetti più profondi nel tentativo di fornire gli strumenti utili a risolvere gli esercizi con diversi livelli di difficoltà.

Dopo aver ripassato insieme alcuni degli strumenti di algebra necessari a raggiungere la piena consapevolezza della materia, in questo corso vengono proposti contenuti che sono stati integrati nel libro di testo, Lezioni di Analisi Matematica, del prof. Daniele Ritelli (UNIBO) edito dalla Società Editrice Esculapio. Sono stati prodotti, con grande cura e dovizia di particolari, più di settanta video a supporto del manuale. In questo modo si è cercato di dare risposta alla continua, incessante e, sopratutto, insaziabile, richiesta di esempi operativi per lo svolgimento di esercizi da parte degli studenti; inoltre le tecniche risolutive sono illustrate con un livello di dettaglio che, per ragioni di tempo, raramente viene fornito a livello universitario, dove era tradizione scaricare sullo studente il tempo e le sofferenze necessarie all’apprendimento dell’arte di risolvere problemi.

Vediamo insieme di cosa parleremo in questo paragrafo e…buono studio 😉

Cosa sono i Polinomi di Taylor?

Definizione di Polinomio di Taylor

Presa una funzione f(x) derivabile n volte in un intervallo I, si chiama Polinomio di Taylor di grado n generato da f(x) in un punto x_{0} di I: P_{n}(x_{0})=f(x_{0})+f^{I}(x_{0})(x-x_{0})+f^{II}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{2}}{2!}+.....+f^{(n)}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{n}}{n!} Quando il punto x_{0}=0 i polinomi di Taylor sono detti Polinomi di McLaurin

Caratteristica principale dei polinomi di Taylor

La caratteristica principale dei polinomi di Taylor consiste nel fatto che le sue prime n derivate calcolate in x_{0} coincidono con i valori assunti dalle prime n derivate di f(x) sempre in x_{0} . Questo implica che tra il grafico di y=f(x) e della funzione polinomio y= P_{n}(x) esiste in x_{0} un “contatto” di ordine n, motivo per il quale i Polinomi di Taylor sono anche chiamati Polinomi Osculatori

Polinomi di Taylor (McLaurin) di uso frequente:

• e^{x}\rightarrow P_{n}(0)=1+x+\frac{(x)^{2}}{2!}+.....+\frac{(x)^{n}}{n!}
• ln(1+x)\rightarrow P_{n}(0)=x-\frac{(x)^{2}}{2}+.....+(-1)^{n+1}\frac{(x)^{n}}{n}
• (1+x)^{\alpha }\rightarrow P_{n}(0)=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+.....+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)}{n!}x^{n}
• sin(x)\rightarrow P_{n}(0)=x-\frac{(x)^{3}}{3!}+.....+(-1)^{n}\frac{(x)^{2n+1}}{(2n+1)!}
• cos(x)\rightarrow P_{n}(0)=1-\frac{(x)^{2}}{2!}+.....+(-1)^{n}\frac{(x)^{2n}}{(2n)!}