POLINOMI DI TAYLOR: cosa sono i polinomi di Taylor e come si calcolano. Utilizzo dei Polinomi di Taylor nel calcolo di limiti (resto di Peano) e di valori approssimati di funzioni (resto di Lagrange)

Prima di riepilogare in questa descrizione i vari argomenti che tratteremo nella lezione, ti mostro sinteticamente cosa contiene questo pacchetto: 1) una LEZIONE DI TEORIA sull’argomento trattato 2) un PDF TEORIA scritto da me seguendo fedelmente la lezione fatta (potrai utilizzare questo PDF per prendere i tuoi appunti ed integrare ulteriori tue riflessioni) 3) un PDF ESERCIZI svolti e commentati. 4) un TEST DI VERIFICA che svolgerai quando avrai completato lo studio di teoria di esercizi e ti servirà per fissare ulteriormente i concetti che hai studiato in modo da essere preparato per i test e gli esami che dovrai affrontare. Ora passiamo ad un riepilogo scritto di tutto quello che vedremo relativamente a questo argomento.

Questo paragrafo è completamente dedicato al Polinomio di Taylor ed al loro utilizzo nel caloclo di limiti di forme indeterminate che può essere visto come uno degli argomenti più gettonati di Analisi Matematica 1. Si tratta di una lezione che fa parte del corso di Analisi Matematica 1 dedicato a tutti gli studenti che devono affrontare questa materia al primo anno delle principali facoltà dell’ambito STEM. All’interno di questo percorso avremo modo di introdurre l’Analisi Matematica, senza tralasciarne gli aspetti più profondi nel tentativo di fornire gli strumenti utili a risolvere gli esercizi con diversi livelli di difficoltà. Dopo aver ripassato insieme alcuni degli strumenti di algebra necessari a raggiungere la piena consapevolezza della materia, in questo corso vengono proposti contenuti che sono stati integrati nel libro di testo, Lezioni di Analisi Matematica, del prof. Daniele Ritelli (UNIBO) edito dalla Società Editrice Esculapio. Sono stati prodotti, con grande cura e dovizia di particolari, più di settanta video a supporto del manuale. In questo modo si è cercato di dare risposta alla continua, incessante e, sopratutto, insaziabile, richiesta di esempi operativi per lo svolgimento di esercizi da parte degli studenti; inoltre le tecniche risolutive sono illustrate con un livello di dettaglio che, per ragioni di tempo, raramente viene fornito a livello universitario, dove era tradizione scaricare sullo studente il tempo e le sofferenze necessarie all’apprendimento dell’arte di risolvere problemi. Vediamo nel dettaglio di cosa parleremo in questo paragrafo e…buono studio 😉

Cosa sono i Polinomi di Taylor?

Definizione di Polinomio di Taylor

Presa una funzione f(x) derivabile n volte in un intervallo I, si chiama Polinomio di Taylor di grado n generato da f(x) in un punto x_{0} di I: P_{n}(x_{0})=f(x_{0})+f^{I}(x_{0})(x-x_{0})+f^{II}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{2}}{2!}+.....+f^{(n)}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{n}}{n!} Quando il punto x_{0}=0 i polinomi di Taylor sono detti Polinomi di McLaurin

Caratteristica principale dei polinomi di Taylor

La caratteristica principale dei polinomi di Taylor consiste nel fatto che le sue prime n derivate calcolate in x_{0} coincidono con i valori assunti dalle prime n derivate di f(x) sempre in x_{0} . Questo implica che tra il grafico di y=f(x) e della funzione polinomio y= P_{n}(x) esiste in x_{0} un “contatto” di ordine n, motivo per il quale i Polinomi di Taylor sono anche chiamati Polinomi Osculatori

Polinomi di Taylor (McLaurin) di uso frequente:

• e^{x}\rightarrow P_{n}(0)=1+x+\frac{(x)^{2}}{2!}+.....+\frac{(x)^{n}}{n!}
• ln(1+x)\rightarrow P_{n}(0)=x-\frac{(x)^{2}}{2}+.....+(-1)^{n+1}\frac{(x)^{n}}{n}
• (1+x)^{\alpha }\rightarrow P_{n}(0)=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+.....+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)}{n!}x^{n}
• sin(x)\rightarrow P_{n}(0)=x-\frac{(x)^{3}}{3!}+.....+(-1)^{n}\frac{(x)^{2n+1}}{(2n+1)!}
• cos(x)\rightarrow P_{n}(0)=1-\frac{(x)^{2}}{2!}+.....+(-1)^{n}\frac{(x)^{2n}}{(2n)!}

Polinomi di Taylor e resto 

Come anticipato precedentemente, il polinomio di Taylor ha un contatto di ordine n con la funzione nel punto x_{0}. Al fine, dunque, di stabilire come il Polinomio di ordine n approssimi la funzione occorre analizzare come si comporta il resto di ordine n, in quanto: f(x)=P_{n}+ R_{n}   per  x\rightarrow x_{0}

Il resto del polinomio di Taylor rappresenta dunque, in un certo senso, l’approssimazione che si ottiene nel rappresentare una funzione f(x) con il suo polinomio di Taylor di ordine n per x\rightarrow x_{0}

Polinomi di Taylor: resto secondo Peano 

Il resto   R_{n} del polinomio può essere valutato asintoticamente in quanto:

Teorema (Peano): Sia f(x) una funzione continua e n volte derivabile in un intorno di x_{0} . Allora:   \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{R_{n}(f(x))}{(x-x_{0})^{n}}=0

Di conseguenza, il resto   R_{n} di ordine n può essere visto, utilizzando i simboli di Bachmann-Landau come un o-piccolo   R_{n}=o(x-x_{0})^{n} e dunque affermando che è trascurabile rispetto a   (x-x_{0})^{n} .

In questi termini, la funzione si può esprimere come:

f(x)=f(x_{0})+f^{I}(x_{0})(x-x_{0})+f^{II}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{2}}{2!}+.....+f^{(n)}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{n}}{n!}+ o(x-x_{0})^{n} per x\rightarrow x_{0}

La rappresentazione della funzione f(x) , continua e n volte derivabile in x_{0} attraverso il polinomio di Taylor con resto di Peano risulta essere particolarmente utile nel calcolo di limiti di forme indeterminate

Polinomi di Taylor: resto secondo Lagrange 

Il resto   R_{n} del polinomio di Taylor può essere valutato generalizzando il teorema del valor medio (Lagrange):

Teorema: Presa una f(x) continua e derivabile n+1 volte in x_{0} , per ogni x\in I_{x_{0}} esiste \xi appartenente a [x_{0};x] tale che   R_{n}=\frac{(x-x_{0})^{n+1}}{(n+1)!}f^{n+1}(\xi )

In questi termini, la funzione si può esprimere come:

f(x)=f(x_{0})+f^{I}(x_{0})(x-x_{0})+f^{II}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{2}}{2!}+.....+f^{(n)}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{n}}{n!}+ \frac{(x-x_{0})^{n+1}}{(n+1)!}f^{n+1}(\xi ) per x\rightarrow x_{0}

Attenzione, il teorema del resto secondo Lagrange non permette di calcolare il resto, ma permette di valutare l’accuratezza con cui il polinomio di Taylor   P_{n} approssima la funzione f(x)

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