Benvenuti al paragrafo sul criterio del rapporto detto anche crtierio di D’Alembert per le serie numeriche! Questo teorema permette di capire se una serie data converge o diverge.
Definizione di serie a termini positivi
Sia \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1}+... di dice serie a termini positivi se \forall n, a_n\geq 0.
Condizione necessaria ma non sufficiente affinchè una serie converga è che \lim_{n \to +\infty} a_n=0. Infatti basta pensare alla serie armonica \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} , questa diverge anche se \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}=0.
Data una serie a termini positivi \sum_{n=1}^{+\infty} a_n sia il limite \lim_{n \to +\infty \frac{a_{n+1}}{a_n}}=l. Allora:
se l>1 la serie diverge
se l<1 la serie converge
se l=1 la serie è indeterminata.
Questo criterio è molto utile da applicare specialmente se nella serie a_n compaiono dei fattoriali.
Buono studio!