Teoria ed esercizi svolti sulle Successioni di Cauchy

Benvenuti in questo paragrafo realizzato con un mix di teoria ed esercizi svolti sulle Successioni che sono alla base della nozione di limite, fondamentale per ogni risultato dell’Analisi matematica.

Si tratta di una lezione che fa parte del corso di Analisi Matematica 1 dedicato a tutti gli studenti che devono affrontare questa materia al primo anno delle principali facoltà dell’ambito STEM. All’interno di questo percorso avremo modo di introdurre l’Analisi Matematica, senza tralasciarne gli aspetti più profondi nel tentativo di fornire gli strumenti utili a risolvere gli esercizi con diversi livelli di difficoltà.

Dopo aver ripassato insieme alcuni degli strumenti di algebra necessari a raggiungere la piena consapevolezza della materia, in questo corso vengono proposti contenuti che sono stati integrati nel libro di testo, Lezioni di Analisi Matematica, del prof. Daniele Ritelli (UNIBO) edito dalla Società Editrice Esculapio. Sono stati prodotti, con grande cura e dovizia di particolari, più di settanta video a supporto del manuale. In questo modo si è cercato di dare risposta alla continua, incessante e, sopratutto, insaziabile, richiesta di esempi operativi per lo svolgimento di esercizi da parte degli studenti; inoltre le tecniche risolutive sono illustrate con un livello di dettaglio che, per ragioni di tempo, raramente viene fornito a livello universitario, dove era tradizione scaricare sullo studente il tempo e le sofferenze necessarie all’apprendimento dell’arte di risolvere problemi.

Vediamo insieme di cosa parleremo in questo paragrafo e…buono studio 😉

Successioni

Definizione di successione

Le successioni possono essere definite come funzioni in \mathbb{N} (il dominio è dunque l’insieme dei numeri naturali) a valori reali. Possono essere anche viste come sequenze ordinate di numeri in \mathbb{R} con l’eventualità che alcuni termini possano essere ripetuti. Il termine n-esimo della successione è l’immagine dell’intero n\in \mathbb{N}; invece di rappresentare tale termine mediante l’usuale notazione a(n) si suole scrivere, nel caso delle successioni a_{n}.

Successioni di Cauchy

Definizione di successione di Cauchy

La nozione di successione di Cauchy, equivalente a quella di successione convergente, ha notevole importanza poichè non richiede la conoscenza del valore a cui tende la successione

Una successione a_{n} è di Cauchy se per ogni \varepsilon >0 esiste n_{\varepsilon }\in \mathbb{N} tale per cui, presi n,m \in \mathbb{N} con n, m>n_{\varepsilon } si verifica che \left | a_{n}-a_{m} \right |<\varepsilon

Teorema 1

Se a_{n} è una successione convergente, allora è anche una successione di Cauchy

Lemma

Se a_{n} è una successione di Cauchy, allora è limitata

Teorema 2

Ogni successione di Cauchy è convergente

 

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successioni di Cauchy
23 minuti

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livello: universitÃ