Valori delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente per gli angoli notevoli di 30°, 45°, 60°

Ciao ragazzi! Benvenuti in questo paragrafo dedicato al calcolo del valore delle funzioni goniometriche per gli angoli notevoli di 30°, 45° e 60° e non dimenticarli più! Le funzioni goniometriche di un angolo di ampiezza \alpha radianti sono il seno, coseno, tangente e cotangente. 

Per calcolare le funzioni goniometriche di un angolo vi basterà ragionare sul grafico della circonferenza goniometrica, ovvero la circonferenza di raggio unitario con centro nell’origine degli assi cartesiani ed applicare un pò di geometria euclidea! Ricordate che partendo dall’angolo 0° gli angoli si determinano procedendo in senso antiorario.

Prima di cominciare le lezioni ricordiamo le relazioni fondamentali della goniometria, ovvero:

1) \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1

2) \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} 

Valori funzioni goniometriche dell’angolo di 30° ovvero \pi/6 radianti ed i suoi multipli 

Per calcolare il valore delle funzioni goniometriche dell’angolo di 30° dobbiamo disegrare per prima cosa la circonferenza goniometrica ed identificato su questa l’angolo di 30° ovvero \pi/6 radianti, tracciamo le proiezioni sugli assi cartesiani, che ricordate cadono perpendicolari sugli assi, la proiezione orizzontale sull’asse delle ascisse è per definizione il coseno dell’angolo e la proiezione verticale sull’asse delle ordinate corrisponde al seno dell’angolo. 

Grazie all’utilizzo della geometria euclidea siamo in grado di calcolare le funzioni goniometriche di 30°:

\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \\ 

\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ 

\tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}\\

\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}\\

Per determinare il valore delle funzioni goniometriche degli angoli multipli di \pi/6 basterà applicare i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli sulla circonferenza goniometrica.

Valori funzioni goniometriche dell’angolo di 45° ovvero \pi/4 radianti ed i suoi multipli 

Per calcolare il valore delle funzioni goniometriche dell’angolo di 45° dobbiamo disegrare per prima cosa la circonferenza goniometrica ed identificato su questa l’angolo di 45° ovvero \pi/4 radianti, tracciamo le proiezioni sugli assi cartesiani, che ricordate cadono perpendicolari sugli assi, la proiezione orizzontale sull’asse delle ascisse è per definizione il coseno dell’angolo e la proiezione verticale sull’asse delle ordinate corrisponde al seno dell’angolo. 

Grazie all’utilizzo della geometria euclidea siamo in grado di calcolare le funzioni goniometriche di 45°:

\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 

\cos \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 

\tan \frac{\pi}{4} = 1\\

\cot \frac{\pi}{4} = 1\\

Per determinare il valore delle funzioni goniometriche degli angoli multipli di \pi/4 basterà applicare i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli sulla circonferenza goniometrica.

Valori funzioni goniometriche dell’angolo di 60° ovvero \pi/3 radianti ed i suoi multipli 

Per calcolare il valore delle funzioni goniometriche dell’angolo di 60° dobbiamo disegnare per prima cosa la circonferenza goniometrica ed identificato su questa l’angolo di 60° ovvero \pi/3 radianti, tracciamo le proiezioni sugli assi cartesiani, che ricordate cadono perpendicolari sugli assi, la proiezione orizzontale sull’asse delle ascisse è per definizione il coseno dell’angolo e la proiezione verticale sull’asse delle ordinate corrisponde al seno dell’angolo. 

Grazie all’utilizzo della geometria euclidea siamo in grado di calcolare le funzioni goniometriche di 60°:

\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ 

\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \\ 

\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\\

\cot \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}}{3}\\

Per determinare il valore delle funzioni goniometriche degli angoli multipli di \pi/3 basterà applicare i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli sulla circonferenza goniometrica.

Buon lavoro!